上周就想写了结果一直在犯拖延症。上周的时候因为不理解斯托尔茨定理证明的前半段所以去放狗和放百度，结果就搜到一个百度知道里面讲了前半段的，虽然那个 回答者大概是因为怎么讲前半段提问的人都不理解懒得讲了以至于没有把后半段讲完，结果那个提问的人非常生气，不过刚好把我不理解的地方弄明白了。我就把两 段拼起来发出来吧，希望以后像我一样不懂的人搜索的时候可以搜到这里。

PS：菲赫金哥尔茨的35例6的讨论太神了……太麻烦了……太可怕了……为学理论数学的人在本科阶段要经历的这个可怕的过程表示同情和敬佩。果然数学要资质了，我没有去读数学而是读工科真是太好了。

（PS2： 数学符号太麻烦了博客又没有公式功能我也懒得用图片，以下用infinity指代那个倒8，Xn Yn XN YN的n、N、n-1、N-1等等都是下标，/就是分子分母中间的那条横线，如果看着很难受请自己在稿纸上转化成平时写的那种格式吧，写出来就很容易看懂 了。这就是为什么我在presentation和oral defense的时候都喜欢黑板不喜欢使用ppt什么的）

首先，斯托尔茨定理，会搜到这里的人肯定都认识：

设整序变量Yn->+infinity，且从某一项Yn+1>Yn，则lim(Xn/Yn)=lim((Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1))  （等式右边的极限已知为存在）

如果等式右边的极限不存在，不能用这个定理哟亲。

证明：

设  lim((Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)) =a，我们将证明 lim(Xn/Yn) 也是a。

首先我们复习一下整序变量（考研高数叫做数列，严格来说应该是下标只能是整数的数列，即整序变量）极限的定义，整序变量Xn有极限a的定义是：

对于任意一个正数m， 总可以找到下标N，使得n>=N时，|Xn-a|<m

讨论定义的时候什么临域啊什么趋近啊都他妈扔掉，都是影响理解的货。

根据极限的定义，对任意小量e>0，必能求得序号N，使n>=N时有

|(Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)-a|<(e/2)

（就是国内高数书里面那个什么这个东西落在a的临域内，忘记这个说法吧，这种说法就是让人更难理解极限而已）

Xn-Xn-1还是无穷减无穷型很难搞，我们得想办法找一个更容易解决问题的式子

从N到n都满足上式，即有

|(XN-XN-1)/(YN-YN-1)-a|<(e/2) 

|(XN+1-XN)/(YN+1-YN)-a|<(e/2) 

...

|(Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)-a|<(e/2)

展开：

a-e/2< (XN-XN-1)/(YN-YN-1) <a+e/2

...

a-e/2< (Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1) <a+e/2

由于Yn>Yn-1，故不等式两边同乘分母可得

(a-e/2) (YN-YN-1) <  XN-XN-1 <(a+e/2)  (YN-YN-1)

(a-e/2) (YN+1-YN) <  XN+1-XN <(a+e/2)  (YN+1-YN)

...

(a-e/2) (Yn-Yn-1) <  Xn-Xn-1 <(a+e/2)  (Yn-Yn-1)

观察上式，可以发现将他们累加起来的话，前一个式子里减号前面的项可以消掉后一个式子减号后面的项，可得：（注意n是比N大的）

 (a-e/2) (Yn-YN) <  Xn-XN <(a+e/2)  (Yn-YN)

即

|(Xn-XN)/(Yn-YN)-a|<e/2

XN和YN是固定的数，这下比较好用了。

接下来介绍一个恒等式：

Xn/Yn-a=(XN-aYN)/Yn+(1-YN/Yn)((Xn-XN)/(Yn-YN)-a)

这个等式是成立的，可以很容易地直接验算。当初斯托尔茨怎么想出的这个等式，太牛逼了。

由于Yn>=YN，所以 1-YN/Yn <=1于是可得：

|Xn/Yn-a|<=|(XN-aYN)/Yn|+|(Xn-XN)/(Yn-YN)-a|

当n>=N'>N时，

由于XN-aYN是固定的数，Yn->infinity，故 |(XN-aYN)/Yn|->0，有  |(XN-aYN)/Yn| <e/2

同时刚才已经证明n>=N时 |(Xn-XN)/(Yn-YN)-a| <e/2

故

|Xn/Yn-a|<e

即 Xn/Yn 的极限也是a

证毕。